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概率統計實驗指導書 - 下載本文

概率論與數理統計實驗指導書

圖 4-4 正態分布概率圖形 圖 4-5 指數分布概率圖形 (5) 樣本數據的箱形圖

箱形圖可以比較清晰地表示數據的分布特征. 它由 5個部分組成:

1) 箱形上、下的橫線為樣本的 25%和 75%分位數, 箱形頂部和底部的差值為內四分位極值;

2) 箱形中間的橫線為樣本的中值. 若該橫線沒在箱形中央, 則說明存在偏度;

3) 箱形向上或向下延伸的直線稱為“觸須”. 若沒有異常值, 樣本的最大值為上觸須的頂部, 樣本最小值為下觸須的底部. 默認情況下, 距離箱形頂部或底部大于 1.5倍內四分位極值的值稱為異常值;

4) 圖中頂部的加號表示該處數據為一異常值. 該值的異常可能是輸入錯誤、測量失誤或系統誤差引起;

5) 箱形兩側的“V”形槽口對應于樣本中值的置信區間. 默認情況下, 箱形圖沒有“V”形槽口.

調用格式:

·boxplot(X) % 產生矩陣 X 的每一列的箱形圖和“觸須”圖, “觸須”從箱形末端延伸出來, 表示數據向極大和極小方向延伸的程度. 如果“觸須”的外面沒有數據, 則在“觸須”的底部有一個點.

·boxplot(X, notch) %當notch=1時, 產生一個帶刻槽的箱形圖. 默認時 notch=0, 產生一個矩形箱形圖.

·boxplot(X, notch, 'sym') %sym表示圖形顏色和符號, 默認值為藍 色和“+”. ·boxplot(X, notch, 'sym', vert) %當 vert=0 時, 生成水平箱形圖; vert=1 時, 生成豎直箱形圖(默認值 vert=1).

·boxplot(X, notch, 'sym', vert, whis) %whis 定義“觸須”圖的長度. 若 whis=0, 則 boxplot 函數通過繪制 sym符號圖來顯示箱形圖以外的數據值.

例4-6 產生100個均值為5, 標準差為1的正態分布的隨機數, 再產生100個均值為 6, 標準差為 1 的正態分布的隨機數, 用箱形圖比較它們均值大小.

解 在命令窗口中輸入:

x1 = normrnd(5, 1, 100, 1); x2 = normrnd(6, 1, 100, 1);

x = [x1 x2]; %形成 100 行2 列正態分布的隨機數. boxplot(x, 1, 'g+', 1, 0) %產生矩陣X的每一列的箱形圖和“觸須”圖.

回車后顯示(見圖 4-6):

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圖4-6 兩個正態樣本的箱形圖比較

(6) 樣本的概率圖形——獲得概率分布和落入區間概率

利用“樣本的概率圖形”, 可以獲得隨機變量落在指定范圍內的概率, 獲得樣本分布的概率密度圖形.

調用格式:

· p = capaplot(data,specs) % data為所給樣本數據, specs指定范圍, p表示在指定范圍內的概率.

例 4-9 產生 30 個標準正態分布的隨機數, 計算這些數據落入區間[-2, 2] 的概率. 解 在命令窗口中輸入:

data=normrnd (0, 1, 30, 1); p=capaplot(data, [-2, 2])

回車后顯示(見圖 4-7):

p =

0.9199

圖 4-7 落入指定區間的樣本概率圖片

(7) 附加有正態分布概率密度曲線的直方圖 調用格式:

·histfit(data) úta為向量, 返回直方圖和正態曲線.

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·histfit(data, nbins) % nbins指定bar的個數, 缺省時為data中數據個數的平方根. 例 4-10 產生 100 個均值為 10, 標準差為 1 的正態分布的隨機數, 畫出它們的直方圖并附加正態密度曲線, 觀察它們之間的擬合程度.

解 在命令窗口中輸入:

r = normrnd (10, 1, 100, 1); histfit(r)

回車后顯示(見圖 4-8):

圖 4-8 直方圖與正態分布概率密度曲線

(8) 在指定的界線之間畫正態分布概率密度曲線并求概率 調用格式:

·p = normspec(specs,mu,sigma) %specs 指定界線, mu,sigma 為正態分 布的均值和標準差, 返回參數 p 為樣本落在上、下界之間的概率.

例 4-11 畫出區間[10, +∞)上均值為 11.5, 標準差為 1.25 的正態密度曲線, 并計算樣本落在[10, +∞)上的概率.

解 在命令窗口中輸入:

p=normspec([10 Inf],11.5,1.25)

回車后顯示(見圖 4-9):

p=

0.8849

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圖 4-9 指定范圍內的正態分布概率密度曲線及概率

2. 常見分布的概率密度函數圖形

關于常見分布的分布律、概率密度函數作圖命令和圖形, 我們只就二項分 布(離散型)、正態分布和 t分布(連續型)為例介紹. 其它分布操作與此類似.

(1) 二項分布

基本數學原理: 設 X~B(n, p). 具體概率分布見實驗二.

例 4-12 設隨機變量 X=0,1,?,10,計算 X 的服從二項分布 B(10,0.5)的概率, 并畫出二項分布分布律圖形,指出取概率最大的X 的值.

解 在命令窗口中輸入:

x = 0:10;

y = binopdf(x, 10, 0.5); plot(x, y, '+')

回車后顯示(見圖 4-10):

圖 4-9 二項分布的分布律圖形

(2) 正態分布

基本數學原理: 設 X~N(μ,σ2), 具體概率密度見實驗二.

例4-13 設隨機變量X取區間[-3, 3]上步長為0.2的各值, 計算X的服從標準正態分布的概率, 并畫出概率密度函數圖形.

解 在命令窗口中輸入:

x=-3:0.2:3;

y=normpdf(x, 0, 1); plot(x, y)

回車后顯示(見圖 4-11):

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圖 4-11 正態分布密度函數圖形

(3) t分布

基本數學原理: 設X服從自由度為n的t分布, 具體概率密度見實驗二.

例 4-14 設隨機變量 X 取區間[-5, 5]上步長為 0.1 的各值, 計算X 的服從參數為 5 的 t 分布的概率, 并畫出概率密度函數圖形,同時畫出標準正態概率密度曲線,觀察二者的區別.

解 在命令窗口中輸入:

x = -5:0.1:5; y = tpdf(x, 5); z = normpdf(x, 0, 1); plot(x, y, '-', x, z, '-.')

回車后顯示(見圖 4-12):

圖4-12 t分布密度函數圖形和標準正態曲線

例 4-15 某人向空中拋擲一枚硬幣 100 次, 落下后“正面向上”的概率為 0.5. 這 100次中正面向上的次數記為 X.

(1) 試計算{X=45}的概率和{X≤45}的概率; (2) 繪制分布律圖形和分布函數圖像. 解 在命令窗口中輸入:

clear;

px=binopdf(45, 100, 0.5) %計算{X=45}的概率.

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